04 · बहुपद: coefficients और Sturm sequence
बहुपद: coefficients और Sturm sequence¶
सीमित coefficient sequence से बहुपद बनाकर सटीक परिमेय अंकगणित से वास्तविक मूल गिनें।
आप परिमेय operation को पूर्णांक और प्राकृतिक परिभाषाओं तक ले जा सकते हैं।
- “बहुपद: coefficients और Sturm sequence” की गणितीय परिभाषा अपने शब्दों में समझाना
- Python डेटा में उसका निरूपण बताना
- वास्तविक कोड से छोटा execution अनुमानित करना
`(a₀,a₁,…)`, `x⁰,x¹,…` के coefficients हैं। Sturm प्रमेय sign variations के अंतर से अलग वास्तविक मूल गिनता है।
`Polynomial` constant term से coefficients रखता और अंतिम शून्य हटाकर एक canonical रूप बनाता है।
`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`
गणितीय परिभाषा
गणितीय परिभाषा¶
(a₀,a₁,…), x⁰,x¹,… के coefficients हैं। Sturm प्रमेय sign variations के अंतर से अलग वास्तविक मूल गिनता है।
डेटा निरूपण
डेटा निरूपण¶
Polynomial constant term से coefficients रखता और अंतिम शून्य हटाकर एक canonical रूप बनाता है।
Python कार्यान्वयन
Python कार्यान्वयन¶
evaluate मान निकालता, sturm_sequence negative remainders बनाता और count_real_roots endpoints के sign variations की तुलना करता है।
पाठ्यक्रम में उपयोग किया गया सटीक संबंध:
Execution trace
Execution trace¶
x²-2 का मान 1 पर ऋणात्मक और 2 पर धनात्मक है, जो isolating interval तैयार करता है।
दोनों signs का अनुमान लगाएँ और तय करें कि sign change अकेला एक ही मूल सिद्ध करता है या नहीं।
पहले अनुमान लिखें, फिर चलाएँ।
Test से जाँच
Test से जाँच¶
test normalization, evaluation, division और ज्ञात root counts जाँचते हैं; uniqueness के लिए Sturm count चाहिए।
दायरा और सीमाएँ
दायरा और सीमाएँ¶
केवल एक चर वाले परिमेय बहुपद हैं; repeated और endpoint roots के लिए स्पष्ट conventions चाहिए।