04 · 多项式：系数序列与 Sturm 序列

多项式：系数序列与 Sturm 序列¶

从有限系数序列构造多项式，再用精确有理数运算研究区间内的实根数。

阅读本章前

你已经能把有理数运算追溯到整数和自然数的定义。

完成本章后，你可以

数学定义

多项式由 `(a₀,a₁,…)` 表示，其中 `aᵢ` 是 `xⁱ` 的系数。Sturm 定理用符号变化数之差给出区间内不同实根的个数。

数据表示

`Polynomial` 保存从常数项开始的系数元组，并删除末尾的零；零多项式因此有唯一表示。

Python 实现

`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`

与本章一起阅读的实现和测试

peano/polynomial.py · tests/test_polynomial.py

数学定义

数学定义¶

多项式由 (a₀,a₁,…) 表示，其中 aᵢ 是 xⁱ 的系数。Sturm 定理用符号变化数之差给出区间内不同实根的个数。

数据表示

Polynomial 保存从常数项开始的系数元组，并删除末尾的零；零多项式因此有唯一表示。

Python 实现

evaluate 按系数求值；sturm_sequence 反复取带负号的余式；count_real_roots 比较区间两端的符号变化。

本课程使用的精确对应关系:

`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`

执行过程

对 x²-2 在 1 和 2 处求值，会得到一负一正，为下一章的隔离区间提供依据。

运行前预测

在运行前判断两个端点的符号，并说明这是否足以证明区间里恰有一个根。

⌘ / Ctrl + Enter

输出

请先写下预测，再运行。

用测试核对

测试检查系数规范化、求值、除法和已知多项式的根数。恰有一个根要由 Sturm 计数确认，而非只看符号。

适用范围

这里只处理有理系数的一元多项式；重根和端点根需要实现中的明确约定。