05 · 代数实根：隔离区间与二分

代数实根：隔离区间与二分¶

用一个多项式和只含一个实根的有理区间表示代数实数，并逐步缩小区间。

阅读本章前

你已经知道如何精确求值多项式并用 Sturm 序列计算区间中的根数。

完成本章后，你可以

数学定义

代数实数是某个非零整数或有理系数多项式的实根。这里用多项式与恰好隔离一个根的开区间来指定一个根。

数据表示

`AlgebraicRoot` 保存多项式和有理端点；构造时验证顺序与根数。`RationalInterval` 保存每次收缩后的范围。

Python 实现

`(p,(a,b))` → `AlgebraicRoot`; `Iₙ → Iₙ₊₁` → `_bisect`

与本章一起阅读的实现和测试

peano/algebraic_root.py · tests/test_algebraic_root.py

数学定义

数学定义¶

代数实数是某个非零整数或有理系数多项式的实根。这里用多项式与恰好隔离一个根的开区间来指定一个根。

数据表示

AlgebraicRoot 保存多项式和有理端点；构造时验证顺序与根数。RationalInterval 保存每次收缩后的范围。

Python 实现

_bisect 计算有理中点，并用根计数选择仍包含唯一根的一半；trace 重复这个过程。

本课程使用的精确对应关系:

`(p,(a,b))` → `AlgebraicRoot`; `Iₙ → Iₙ₊₁` → `_bisect`

执行过程

x²-2 的正根从区间 (1,2) 开始。每一步端点仍是有理数，区间嵌套且宽度减半。

运行前预测

先算前三个中点，预测每次会保留左半还是右半，再与输出比较。

⌘ / Ctrl + Enter

输出

请先写下预测，再运行。

用测试核对

测试检查初始区间必须只含一个根、区间持续嵌套、宽度按预期缩小。

适用范围

该类型用于观察一个实根的逼近，不提供代数数之间的完整运算或一般相等判断。