04 · Polinômios: coeficientes e sequências de Sturm
Polinômios: coeficientes e sequências de Sturm¶
Construa polinômios com sequências finitas e conte raízes reais por aritmética racional exata.
Você já consegue rastrear uma operação racional até as definições de inteiros e naturais.
- explicar com suas palavras a definição matemática de “Polinômios: coeficientes e sequências de Sturm”
- apontar como essa definição é representada em dados Python
- prever uma execução pequena a partir do código real
`(a₀,a₁,…)` guarda os coeficientes de `x⁰,x¹,…`. O teorema de Sturm conta raízes reais distintas pela diferença nas variações de sinal.
`Polynomial` guarda coeficientes a partir do termo constante e remove zeros finais, dando uma forma única ao polinômio zero.
`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`
Definição matemática
Definição matemática¶
(a₀,a₁,…) guarda os coeficientes de x⁰,x¹,…. O teorema de Sturm conta raízes reais distintas pela diferença nas variações de sinal.
Representação dos dados
Representação dos dados¶
Polynomial guarda coeficientes a partir do termo constante e remove zeros finais, dando uma forma única ao polinômio zero.
Implementação em Python
Implementação em Python¶
evaluate calcula valores, sturm_sequence encadeia restos com sinal invertido e count_real_roots compara as variações nas extremidades.
A correspondência exata usada no curso:
Fluxo de execução
Fluxo de execução¶
Avaliar x²-2 em 1 e 2 produz um valor negativo e outro positivo, preparando o intervalo isolante.
Preveja os sinais e decida se a mudança de sinal sozinha prova que existe exatamente uma raiz.
Primeiro escreva sua previsão; depois execute.
Verificação com testes
Verificação com testes¶
Os testes cobrem normalização, avaliação, divisão e contagens conhecidas. A unicidade exige a contagem de Sturm.
Escopo e limites
Escopo e limites¶
Estudamos polinômios de uma variável com coeficientes racionais; raízes múltiplas e extremidades exigem convenções precisas.