05 · Raízes algébricas reais: isolamento e bisseção
Raízes algébricas reais: isolamento e bisseção¶
Represente uma raiz por seu polinômio e um intervalo racional que contém exatamente uma raiz, e estreite esse intervalo.
Você já sabe avaliar exatamente e contar raízes de um polinômio em um intervalo.
- explicar com suas palavras a definição matemática de “Raízes algébricas reais: isolamento e bisseção”
- apontar como essa definição é representada em dados Python
- prever uma execução pequena a partir do código real
Um real algébrico é raiz de um polinômio não nulo. Aqui uma raiz específica é identificada pelo polinômio e por um intervalo aberto que a isola.
`AlgebraicRoot` guarda o polinômio e extremos racionais e valida uma única raiz; `RationalInterval` guarda cada aproximação.
`(p,(a,b))` → `AlgebraicRoot`; `Iₙ → Iₙ₊₁` → `_bisect`
Definição matemática
Definição matemática¶
Um real algébrico é raiz de um polinômio não nulo. Aqui uma raiz específica é identificada pelo polinômio e por um intervalo aberto que a isola.
Representação dos dados
Representação dos dados¶
AlgebraicRoot guarda o polinômio e extremos racionais e valida uma única raiz; RationalInterval guarda cada aproximação.
Implementação em Python
Implementação em Python¶
_bisect calcula o ponto médio racional e usa a contagem de raízes para escolher a metade que preserva a raiz única; trace repete o passo.
A correspondência exata usada no curso:
Fluxo de execução
Fluxo de execução¶
A raiz positiva de x²-2 começa em (1,2). Os intervalos continuam racionais, aninhados e reduzem a largura à metade.
Calcule os três primeiros pontos médios e decida qual metade será mantida em cada etapa.
Primeiro escreva sua previsão; depois execute.
Verificação com testes
Verificação com testes¶
Os testes exigem uma única raiz inicial e verificam o aninhamento e a redução da largura.
Escopo e limites
Escopo e limites¶
O tipo serve para observar uma raiz real; não implementa toda a aritmética nem igualdade geral entre números algébricos.