04 · 다항식: 계수열과 Sturm 수열

다항식: 계수열과 Sturm 수열¶

유한 계수열로 다항식을 만들고 정확한 유리수 연산으로 실근을 셉니다.

이 장을 읽기 전에

유리수 연산을 정수와 자연수 정의까지 추적할 수 있습니다.

이 장을 마치면

수학적 정의

`(a₀,a₁,…)`은 `x⁰,x¹,…`의 계수입니다. Sturm 정리는 부호 변화 수의 차이로 서로 다른 실근 수를 구합니다.

데이터 표현

`Polynomial`은 상수항부터 계수를 저장하고 끝의 0을 제거해 유일한 표현을 만듭니다.

Python 구현

`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`

함께 읽을 구현과 테스트

peano/polynomial.py · tests/test_polynomial.py

수학적 정의

수학적 정의¶

(a₀,a₁,…)은 x⁰,x¹,…의 계수입니다. Sturm 정리는 부호 변화 수의 차이로 서로 다른 실근 수를 구합니다.

데이터 표현

Polynomial은 상수항부터 계수를 저장하고 끝의 0을 제거해 유일한 표현을 만듭니다.

Python 구현

evaluate는 값을 계산하고 sturm_sequence는 음의 나머지를 이어 가며 count_real_roots는 양 끝의 부호 변화를 비교합니다.

이 강의에서 사용하는 정확한 대응:

`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`

실행 과정

x²-2는 1에서 음수, 2에서 양수여서 다음 장의 고립 구간을 준비합니다.

실행 전 예측

두 부호를 예측하고 부호 변화만으로 근이 정확히 하나임을 증명할 수 있는지 판단하세요.

⌘ / Ctrl + Enter

출력

먼저 예측을 적고 실행하세요.

테스트로 확인

테스트는 정규화, 평가, 나눗셈, 알려진 근 수를 확인하며 유일성에는 Sturm 계산이 필요합니다.

범위와 한계

유리계수 일변수 다항식만 다루며 중근과 끝점 근에는 명확한 규약이 필요합니다.