04 · Polynômes : coefficients et suites de Sturm
Polynômes : coefficients et suites de Sturm¶
Construisez des polynômes par suites finies et comptez leurs racines réelles avec des rationnels exacts.
Vous pouvez ramener une opération rationnelle aux définitions entières et naturelles.
- expliquer avec vos mots la définition mathématique de « Polynômes : coefficients et suites de Sturm »
- indiquer comment elle est représentée dans les données Python
- prédire une petite exécution à partir du code réel
`(a₀,a₁,…)` contient les coefficients de `x⁰,x¹,…`. Le théorème de Sturm compte les racines réelles distinctes par les variations de signe.
`Polynomial` conserve les coefficients depuis le terme constant et retire les zéros finaux pour obtenir une forme unique.
`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`
Définition mathématique
Définition mathématique¶
(a₀,a₁,…) contient les coefficients de x⁰,x¹,…. Le théorème de Sturm compte les racines réelles distinctes par les variations de signe.
Représentation des données
Représentation des données¶
Polynomial conserve les coefficients depuis le terme constant et retire les zéros finaux pour obtenir une forme unique.
Implémentation Python
Implémentation Python¶
evaluate calcule la valeur, sturm_sequence enchaîne les restes opposés et count_real_roots compare les variations aux bornes.
La correspondance exacte utilisée dans ce cours:
Trace d’exécution
Trace d’exécution¶
x²-2 vaut négatif en 1 et positif en 2, ce qui prépare l’intervalle isolant.
Prévoyez les deux signes et dites si ce seul changement prouve l’unicité de la racine.
Écrivez d’abord votre prédiction, puis exécutez.
Vérification par les tests
Vérification par les tests¶
Les tests couvrent normalisation, évaluation, division et comptes connus ; l’unicité exige Sturm.
Portée et limites
Portée et limites¶
Le cours traite des polynômes univariés rationnels ; racines multiples et bornes exigent des conventions précises.