05 · Racines algébriques réelles : isolation et dichotomie
Racines algébriques réelles : isolation et dichotomie¶
Décrivez une racine par son polynôme et un intervalle rationnel qui en contient exactement une, puis resserrez-le.
Vous savez évaluer exactement et compter les racines d’un polynôme dans un intervalle.
- expliquer avec vos mots la définition mathématique de « Racines algébriques réelles : isolation et dichotomie »
- indiquer comment elle est représentée dans les données Python
- prédire une petite exécution à partir du code réel
Un réel algébrique est racine d’un polynôme non nul. Ici, une racine précise est donnée par le polynôme et un intervalle ouvert isolant.
`AlgebraicRoot` conserve polynôme et bornes rationnelles et valide l’unicité ; `RationalInterval` conserve chaque approximation.
`(p,(a,b))` → `AlgebraicRoot`; `Iₙ → Iₙ₊₁` → `_bisect`
Définition mathématique
Définition mathématique¶
Un réel algébrique est racine d’un polynôme non nul. Ici, une racine précise est donnée par le polynôme et un intervalle ouvert isolant.
Représentation des données
Représentation des données¶
AlgebraicRoot conserve polynôme et bornes rationnelles et valide l’unicité ; RationalInterval conserve chaque approximation.
Implémentation Python
Implémentation Python¶
_bisect calcule le milieu rationnel et choisit par comptage la moitié qui conserve l’unique racine ; trace répète l’étape.
La correspondance exacte utilisée dans ce cours:
Trace d’exécution
Trace d’exécution¶
La racine positive de x²-2 part de (1,2). Les intervalles restent rationnels, emboîtés et deux fois moins larges.
Calculez les trois premiers milieux et choisissez la moitié conservée à chaque étape.
Écrivez d’abord votre prédiction, puis exécutez.
Vérification par les tests
Vérification par les tests¶
Les tests imposent une racine initiale unique et vérifient emboîtement et diminution de largeur.
Portée et limites
Portée et limites¶
Ce type sert à observer une racine ; il n’implémente ni toute l’arithmétique ni l’égalité générale des nombres algébriques.