04 · Polinomios: coeficientes y sucesiones de Sturm
Polinomios: coeficientes y sucesiones de Sturm¶
Construye polinomios con secuencias finitas y cuenta raíces reales mediante aritmética racional exacta.
Ya puedes remontar una operación racional a sus definiciones enteras y naturales.
- explicar con tus palabras la definición matemática de «Polinomios: coeficientes y sucesiones de Sturm»
- señalar cómo se representa esa definición en datos de Python
- predecir una ejecución pequeña a partir del código real
`(a₀,a₁,…)` guarda los coeficientes de `x⁰,x¹,…`. El teorema de Sturm cuenta raíces reales distintas mediante la diferencia de variaciones de signo.
`Polynomial` guarda los coeficientes desde el término constante y elimina ceros finales para dar una única forma al polinomio cero.
`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`
Definición matemática
Definición matemática¶
(a₀,a₁,…) guarda los coeficientes de x⁰,x¹,…. El teorema de Sturm cuenta raíces reales distintas mediante la diferencia de variaciones de signo.
Representación de datos
Representación de datos¶
Polynomial guarda los coeficientes desde el término constante y elimina ceros finales para dar una única forma al polinomio cero.
Implementación en Python
Implementación en Python¶
evaluate calcula el valor, sturm_sequence encadena restos con signo cambiado y count_real_roots compara las variaciones en los extremos.
La correspondencia exacta usada en el curso:
Traza de ejecución
Traza de ejecución¶
Evaluar x²-2 en 1 y 2 produce un valor negativo y otro positivo, preparando el intervalo aislante.
Predice ambos signos y decide si el cambio de signo basta por sí solo para probar que hay exactamente una raíz.
Escribe primero tu predicción y después ejecuta.
Comprobación con pruebas
Comprobación con pruebas¶
Las pruebas cubren normalización, evaluación, división y recuentos conocidos. La unicidad exige el recuento de Sturm.
Alcance y límites
Alcance y límites¶
Se estudian polinomios univariantes con coeficientes racionales; las raíces múltiples y los extremos requieren convenciones precisas.