04 · Polynome: Koeffizienten und Sturm-Folgen
Polynome: Koeffizienten und Sturm-Folgen¶
Bauen Sie Polynome aus endlichen Folgen und zählen Sie reelle Wurzeln mit exakter rationaler Arithmetik.
Sie können rationale Operationen zu ganzen und natürlichen Definitionen zurückverfolgen.
- die mathematische Definition von „Polynome: Koeffizienten und Sturm-Folgen“ in eigenen Worten erklären
- ihre Darstellung in Python-Daten zeigen
- aus dem echten Code einen kleinen Ablauf vorhersagen
`(a₀,a₁,…)` enthält die Koeffizienten von `x⁰,x¹,…`. Der Satz von Sturm zählt verschiedene reelle Wurzeln über Vorzeichenwechsel.
`Polynomial` speichert Koeffizienten ab dem konstanten Term und entfernt abschließende Nullen für eine eindeutige Form.
`(a₀,a₁,…)` → `Polynomial`; `#roots` → `sturm_sequence`
Mathematische Definition
Mathematische Definition¶
(a₀,a₁,…) enthält die Koeffizienten von x⁰,x¹,…. Der Satz von Sturm zählt verschiedene reelle Wurzeln über Vorzeichenwechsel.
Datenrepräsentation
Datenrepräsentation¶
Polynomial speichert Koeffizienten ab dem konstanten Term und entfernt abschließende Nullen für eine eindeutige Form.
Python-Implementierung
Python-Implementierung¶
evaluate wertet aus, sturm_sequence verkettet negierte Reste, count_real_roots vergleicht Vorzeichenwechsel an den Grenzen.
Die im Kurs verwendete genaue Zuordnung:
Ausführungsablauf
Ausführungsablauf¶
x²-2 ist bei 1 negativ und bei 2 positiv; das bereitet das isolierende Intervall vor.
Sagen Sie beide Vorzeichen voraus und prüfen Sie, ob der Wechsel allein Eindeutigkeit beweist.
Erst vorhersagen, dann ausführen.
Prüfung durch Tests
Prüfung durch Tests¶
Tests prüfen Normalisierung, Auswertung, Division und bekannte Anzahlen; Eindeutigkeit erfordert Sturm.
Geltungsbereich und Grenzen
Geltungsbereich und Grenzen¶
Behandelt werden univariate rationale Polynome; Mehrfach- und Randwurzeln brauchen genaue Konventionen.