05 · Reelle algebraische Wurzeln: Isolation und Bisektion
Reelle algebraische Wurzeln: Isolation und Bisektion¶
Beschreiben Sie eine Wurzel durch Polynom und rationales Intervall mit genau einer Wurzel und verfeinern Sie es.
Sie können Polynome exakt auswerten und ihre Wurzeln in einem Intervall zählen.
- die mathematische Definition von „Reelle algebraische Wurzeln: Isolation und Bisektion“ in eigenen Worten erklären
- ihre Darstellung in Python-Daten zeigen
- aus dem echten Code einen kleinen Ablauf vorhersagen
Eine algebraische reelle Zahl ist Wurzel eines von Null verschiedenen Polynoms. Hier identifizieren Polynom und offenes isolierendes Intervall eine Wurzel.
`AlgebraicRoot` speichert Polynom und rationale Grenzen und prüft Eindeutigkeit; `RationalInterval` hält jede Näherung.
`(p,(a,b))` → `AlgebraicRoot`; `Iₙ → Iₙ₊₁` → `_bisect`
Mathematische Definition
Mathematische Definition¶
Eine algebraische reelle Zahl ist Wurzel eines von Null verschiedenen Polynoms. Hier identifizieren Polynom und offenes isolierendes Intervall eine Wurzel.
Datenrepräsentation
Datenrepräsentation¶
AlgebraicRoot speichert Polynom und rationale Grenzen und prüft Eindeutigkeit; RationalInterval hält jede Näherung.
Python-Implementierung
Python-Implementierung¶
_bisect berechnet die rationale Mitte und wählt durch Wurzelzählung die Hälfte mit der eindeutigen Wurzel; trace wiederholt dies.
Die im Kurs verwendete genaue Zuordnung:
Ausführungsablauf
Ausführungsablauf¶
Die positive Wurzel von x²-2 startet in (1,2). Die Intervalle bleiben rational, verschachtelt und halbieren ihre Breite.
Berechnen Sie die ersten drei Mittelpunkte und wählen Sie jeweils die erhaltene Hälfte.
Erst vorhersagen, dann ausführen.
Prüfung durch Tests
Prüfung durch Tests¶
Tests verlangen anfangs genau eine Wurzel und prüfen Verschachtelung und Breitenabnahme.
Geltungsbereich und Grenzen
Geltungsbereich und Grenzen¶
Der Typ beobachtet eine Wurzel; vollständige Algebra und allgemeine Gleichheit algebraischer Zahlen fehlen bewusst.