01 · 自然數：零、後繼與遞迴

自然數：零、後繼與遞迴¶

把每個自然數表示成零或某個數的後繼，直接由兩種情形實作相等與加法。

閱讀本章前

你已知道運算子會呼叫特殊方法，裝飾器會在方法回傳後記錄訊息。

完成本章後，你可以

數學定義

零與後繼是皮亞諾公理的出發點；`n + 0 = n` 與 `n + S(m) = S(n + m)` 是加法的遞迴定義，不是新的公理。

資料表示

`pre=None` 表示零，`pre=n` 表示 `S(n)`。所以 2 儲存成 `S(S(0))` 的前驅鏈，而不是欄位中的 Python 整數 2。

Python 實作

`0` / `S(n)` → `NaturalNumber.pre`; recursive addition → `__add__`

與本章一起閱讀的實作與測試

peano/natural_number.py · tests/test_natural_number.py

數學定義

數學定義¶

零與後繼是皮亞諾公理的出發點；n + 0 = n 與 n + S(m) = S(n + m) 是加法的遞迴定義，不是新的公理。

資料表示

pre=None 表示零，pre=n 表示 S(n)。所以 2 儲存成 S(S(0)) 的前驅鏈，而不是欄位中的 Python 整數 2。

Python 實作

__eq__ 區分零與後繼並遞迴比較前驅；__add__ 的兩個分支逐字對應加法的基底情形與遞迴式。

本課程使用的精確對應關係:

`0` / `S(n)` → `NaturalNumber.pre`; recursive addition → `__add__`

執行過程

計算 2 + 2 時，右運算元逐步縮小到零。呼叫回傳時先記錄基底情形，再記錄兩層遞迴。

執行前預測

執行前寫出基底日誌、最後一條遞迴日誌與最終值。

⌘ / Ctrl + Enter

輸出

請先寫下預測，再執行。

用測試核對

測試分別命名零不是後繼、後繼的單射性與兩條加法定義。有限測試不能取代歸納證明。

適用範圍

一元前驅鏈能清楚顯示結構，但時間與空間隨數值增加，只適合小輸入。